Nehmen wir den IIR-Filter erster Ordnung an: yn alpha xn (1 - alpha) yn - 1 Wie kann ich den Parameter alpha s. t. Das IIR annähernd so gut wie möglich die FIR, die das arithmetische Mittel der letzten k Proben ist: Wo n in k, infty), was bedeutet, dass der Eingang für den IIR länger als k sein kann und dennoch Id die beste Annäherung der haben Mittelwert der letzten k Eingänge. Ich weiß, die IIR hat unendliche Impulsantwort, daher Im auf der Suche nach der besten Annäherung. Id für die analytische Lösung glücklich sein, ob es für oder ist. Wie konnten diese Optimierungsprobleme nur mit der 1. Ordnung IIR gelöst werden. (1 - alpha) yn - 1 genau ndash Es ist verpflichtet, eine sehr schlechte Annäherung zu werden. Can39t Sie leisten, alles, was mehr als ein First-Order IIR ndash leftaroundover Okt 6 11 at 13:42 Vielleicht möchten Sie Ihre Frage bearbeiten, so dass Sie don39t verwenden yn zu zwei verschiedenen Dingen bedeuten, z. Könnte die zweite angezeigte Gleichung zn frac xn cdots frac xn-k1 lesen, und Sie könnten sagen, was genau ist Ihr Kriterium der Quoten gut als möglichequot z. B. Wollen Sie vert yn - znvert so klein wie möglich für alle n, oder vert yn - znvert2 so klein wie möglich für alle n sein. Ndaren Dilip Sarwate Ich weiß, das ist eine alte Post so, wenn Sie sich erinnern können: wie ist Ihre Funktion 39f39 abgeleitet I39ve codiert eine ähnliche Sache, sondern mit den komplexen Übertragungsfunktionen für FIR (H1) und IIR (H2 ) Und dann Summe (abs (H1 - H2) 2). I39ve verglichen dieses mit Ihrer Summe (fj), aber erhalten unterschiedliche resultierende Ausgänge. Dachte, ich würde vor dem Pflügen durch die Mathematik fragen. (1 - alpha) alpha xn - 1 (1 - alpha) 2 yn - 1 ampamp alpha xn (1 - alpha) alpha xn - 1 (1 - alpha) 2 yn - 2 ampamp alpha xn (1 - alpha) alpha xn-1 (1 - alpha) 2 alpha xn-2 (1 - alpha) 3 yn - 3 Ende, so daß der Koeffizient von xn-m alpha (1-alpha) m ist . Der nächste Schritt ist, Derivate zu nehmen und gleich Null zu sein. Betrachtet man ein Plot des abgeleiteten J für K 1000 und Alpha von 0 bis 1, sieht es aus wie das Problem (wie Ive es aufgestellt) ist schlecht gestellt, weil die beste Antwort ist Alpha 0. Ich denke, Theres ein Fehler hier. Die Art und Weise sollte es nach meinen Berechnungen sein: Mit dem folgenden Code auf MATLAB ergibt etwas Äquivalentes zwar unterschiedlich: Jedenfalls haben diese Funktionen Minimum. So können wir annehmen, dass wir uns nur um die Annäherung über die Unterstützung (Länge) des FIR-Filters kümmern. In diesem Fall ist das Optimierungsproblem genau: J2 (alpha) sum (alpha (1-alpha) m - frac) 2 Das Plotten J2 (alpha) für verschiedene Werte von K versus alpha ergibt das Datum in den Diagrammen und der Tabelle unten. Für K 8. alpha 0,1533333 für K 16. alpha 0,08 für K 24. alpha 0,0533333 für K 32. alpha 0,04 für K 40. alpha 0,0333333 für K 48. alpha 0,0266667 für K 56. alpha 0,0233333 für K 64. alpha 0,02 für K 72. alpha 0.0166667 Die roten gestrichelten Linien sind 1K und die grünen Linien alpha, der Wert von alpha, der J2 (alpha) minimiert (ausgewählt aus tt alpha 0: 0,01: 13). Theres eine nette Diskussion dieses Problems in der eingebetteten Signalverarbeitung mit der Mikrosignalarchitektur. Etwa auf den Seiten 63 und 69. Auf Seite 63 ist eine Ableitung des exakten rekursiven gleitenden Durchschnittsfilters (die niaren in seiner Antwort gegeben hat) enthalten. Zur Bequemlichkeit in Bezug auf die folgende Diskussion entspricht sie der folgenden Differenzengleichung: Die Näherung Die den Filter in die von Ihnen angegebene Form bringt, vorausgesetzt, dass x approx y, weil (und ich zitiere aus S. 68) y der Mittelwert von xn Proben ist. Diese Approximation erlaubt es uns, die vorstehende Differenzengleichung wie folgt zu vereinfachen: Einstellen von alpha, erhalten wir zu Ihrer ursprünglichen Form y alpha xn (1-alpha) y, was zeigt, dass der Koeffizient, den Sie (in Bezug auf diese Approximation) genau 1over haben wollen (Wobei N die Anzahl der Proben ist). Ist diese Annäherung die beste in irgendeiner Hinsicht Seine sicherlich elegant. Heres, wie sich die Amplitudenreaktion bei 44,1 kHz für N 3 vergleicht und wenn N auf 10 erhöht wird (Approximation in blau): Wie aus der Peters-Antwort hervorgeht, kann die Annäherung eines FIR-Filters mit einem rekursiven Filter unter einer Kleinste-Quadrate-Norm problematisch sein. Eine ausführliche Diskussion darüber, wie dieses Problem im Allgemeinen gelöst werden kann, finden Sie in JOSs These, Techniken für Digitalfilter Design und System Identifikation mit Anwendung auf die Violine. Er befürwortet die Verwendung der Hankel-Norm, aber in Fällen, in denen die Phasenreaktion keine Rolle spielt, deckt er auch die Kopecs-Methode ab, die in diesem Fall gut funktionieren könnte (und eine L2-Norm verwendet). Einen breiten Überblick über die Techniken in der Arbeit finden Sie hier. Sie können andere interessante Approximationen liefern. SignalverarbeitungDigitale Filter Digitale Filter sind durch essenziell abgetastete Systeme. Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Abtastwerte mit gleichem Zeitabstand dargestellt. Finite Implulse Response (FIR) - Filter sind gekennzeichnet durch ein Zeitverhalten, das nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt: Sobald das Eingangssignal auf Null abgesunken ist, wird der Filterausgang nach einer bestimmten Anzahl von Abtastperioden das gleiche tun. Der Ausgang y (k) ist durch eine Linearkombination der letzten Eingangsabtastwerte x (k i) gegeben. Die Koeffizienten b (i) geben das Gewicht für die Kombination an. Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der Z-Domain-Filtertransferfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1: Bei linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um das mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter pocesses nur einen Zähler. Dies entspricht einem Nullfilter. FIR-Filter erfordern typischerweise hohe Ordnungen in der Größenordnung von einigen Hunderten. Somit benötigt die Wahl dieser Art von Filtern eine große Menge an Hardware oder CPU. Trotzdem ist ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen, die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, die in einigen Fällen eine Anforderung sein kann. Trotzdem hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit guter Phasenlinearität im Durchlaßband wie Bessel-Filter zu wählen. Oder ein Allpassfilter zu entwerfen, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter (MA) Edit Moving Average (MA) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: MA Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR Filtern. Durchschnittliche Filter Edit Ein Filter, der den Durchschnitt der N letzten Abtastwerte eines Signals berechnet. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch: Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters weist N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse auf. Die Null bei DC wird jedoch durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es eine größere Keule, die für das Filterdurchlassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter Edit Ein Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC) ist eine spezielle Technik zur Realisierung von mittleren Filtern in Serie. Die Serienplatzierung der mittleren Filter verstärkt den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N Durchschnittsfiltern, die jeweils den Durchschnitt von R M Abtastwerten berechnen. Seine Übertragungsfunktion ist folglich gegeben durch: CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder, anders ausgedrückt, ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz erneut abzutasten, wobei R 1 Abtastwerte aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wie viel von dem ersten Lappen durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N. Wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC herum. Die CIC-Struktur ermöglicht es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, wobei keine Multiplikatoren verwendet werden, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Eine Abwärtsabtastung mit dem Faktor R erlaubt die Erhöhung der Signalauflösung durch log 2 (R) (R) Bits. Kanonische Filter Bearbeiten Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie aktive Filter kanonische Strukturen zeigte sich diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten: eine kleine Änderung in Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich das Design von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung oder Leapfrog-Filtern verschoben. Kette der Sektionen der zweiten Ordnung Edit Eine Sektion zweiter Ordnung. Oft als Biquad bezeichnet. Implementiert eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise einem Paar von Nullen zugeordnet sind. Wenn die Übertragungsfunktionen ordnungsgemäß ungerade sind, muss ein erster Ordnungsteil zur Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist dem realen Pol und dem realen Nullpunkt zugeordnet, falls einer vorhanden ist. Direct-Form 1 Direct-Form 2 Direct-Form 1 Transponierte Direct-Form 2 transponiert Das von der folgenden Abbildung transponierte Direct-Formular 2 ist besonders interessant in Bezug auf die benötigte Hardware sowie die Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitale Leapfrog-Filter Filterstruktur bearbeiten Digitale Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern. Der Anreiz für diese Wahl ist, von den ausgezeichneten Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der ursprünglichen Leiter-Schaltung zu erben. Das folgende 4. Ordnung allpolige Tiefpass-Leapfrogfilter kann als digitale Schaltung implementiert werden, indem die analogen Integratoren durch Akkumulator ersetzt werden. Das Ersetzen der Analogintegratoren durch Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Umwandlung zu z 1 s T. Die die beiden ersten Terme der Taylorreihe von z e x p (s T) sind. Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transferfunktion Edit Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filters kann wie folgt geschrieben werden: Aus dieser Gleichung kann man die A, B, C, D Matrizen schreiben als: Aus dieser Darstellung lassen sich Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab grafisch darstellen Den Frequenzgang des Filters oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. In dem digitalen Leapfrog-Filter stellen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion (Butterworth, Chebyshev.) Ein, während ihre Amplituden die Grenzfrequenz einstellen. Das Dividieren aller Koeffizienten um einen Faktor von zwei verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave (auch einen Faktor von zwei) nach unten. Ein spezieller Fall ist der Buterworth-Filter 3. Ordnung, der Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 12 und 1 aufweist. Dadurch kann dieses Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden. Autoregressive Filter (AR) Edit Autoregressive (AR) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: Wo u (n) die Ausgabe des Modells ist, ist x (n) die Eingabe des Modells und u (n - m) sind vorherige Abtastwerte des Modellausgangswertes. Diese Filter werden autoregressiv genannt, da die Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgabewerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch ein Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA Filter Edit Autoregressive Moving-Average Filter (ARMA) sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern. Der Ausgang des Filters ist als Linearkombination sowohl der gewichteten Eingangs - als auch der gewichteten Ausgangssamples gegeben: ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter mit beiden Pole und Nullen betrachtet werden. AR-Filter werden in vielen Fällen bevorzugt, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA - und ARMA-Prozesse hingegen können durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Abgriff-Gewichtungskoeffizienten a (einen Vektor von a (n), a (n - 1).) Einen Eingang von x (n) haben. Und eine Ausgabe von y (n). Können wir die yule-walker Gleichungen verwenden. Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist. Wir behandeln das Eingangsdatensignal als Zufallssignal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert ist, bis wir ihn erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen folgendermaßen ausdrücken: wobei R die Kreuzkorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist und r die Autokorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist: Varianzbearbeitung Wir können zeigen: Wir können die Eingangssignalabweichung als: , Expandiert und ersetzt r (0). Können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen: Exponentialfilter Diese Seite beschreibt die exponentielle Filterung, den einfachsten und beliebtesten Filter. Dies ist Teil des Abschnitts Filterung, der Teil des Leitfadens zur Fehlerdetektion und - diagnose ist. Überblick, Zeitkonstante und Analogäquivalent Der einfachste Filter ist der Exponentialfilter. Es hat nur einen Abstimmungsparameter (außer dem Probenintervall). Es erfordert die Speicherung nur einer Variablen - der vorherigen Ausgabe. Es ist ein IIR (autoregressive) Filter - die Auswirkungen einer Eingangsveränderung Zerfall exponentiell, bis die Grenzen der Displays oder Computer Arithmetik verstecken. In verschiedenen Disziplinen wird die Verwendung dieses Filters auch als 8220exponentielle Glättung8221 bezeichnet. In einigen Disziplinen wie der Investitionsanalyse wird der exponentielle Filter als 8220Exponential Weighted Moving Average8221 (EWMA) oder nur 8220Exponential Moving Average8221 (EMA) bezeichnet. Dies missbräuchlich die traditionelle ARMA 8220moving average8221 Terminologie der Zeitreihenanalyse, da es keinen Eingabehistorie gibt, der verwendet wird - nur die aktuelle Eingabe. Es ist das diskrete Zeit-Äquivalent der 8220 erster Ordnung lag8221, die üblicherweise in der analogen Modellierung von kontinuierlichen Zeitsteuerungssystemen verwendet wird. In elektrischen Schaltkreisen ist ein RC-Filter (Filter mit einem Widerstand und einem Kondensator) eine Verzögerung erster Ordnung. Bei der Betonung der Analogie zu analogen Schaltungen, ist der einzige Tuning-Parameter die 8220time constant8221, in der Regel als klein geschriebenen griechischen Buchstaben Tau () geschrieben. Tatsächlich entsprechen die Werte bei den diskreten Abtastzeiten genau der äquivalenten kontinuierlichen Zeitverzögerung mit der gleichen Zeitkonstante. Die Beziehung zwischen der digitalen Implementierung und der Zeitkonstante wird in den folgenden Gleichungen gezeigt. Exponentielle Filtergleichungen und Initialisierung Das Exponentialfilter ist eine gewichtete Kombination der vorherigen Schätzung (Ausgabe) mit den neuesten Eingangsdaten, wobei die Summe der Gewichtungen gleich 1 ist, so dass die Ausgabe mit dem Eingang im stationären Zustand übereinstimmt. Nach der bereits eingeführten Filternotation ist y (k) ay (k - 1) (1 - a) x (k) wobei x (k) die Roheingabe zum Zeitschritt ky (k) die gefilterte Ausgabe zum Zeitschritt ka ist Ist eine Konstante zwischen 0 und 1, normalerweise zwischen 0,8 und 0,99. (A-1) oder a wird manchmal die 8220-Glättungskonstante8221 genannt. Für Systeme mit einem festen Zeitschritt T zwischen Abtastwerten wird die Konstante 8220a8221 nur dann berechnet und gespeichert, wenn der Anwendungsentwickler einen neuen Wert der gewünschten Zeitkonstante angibt. Bei Systemen mit Datenabtastung in unregelmäßigen Abständen muss bei jedem Zeitschritt die exponentielle Funktion verwendet werden, wobei T die Zeit seit dem vorhergehenden Abtastwert ist. Der Filterausgang wird normalerweise initialisiert, um dem ersten Eingang zu entsprechen. Wenn die Zeitkonstante 0 nähert, geht a auf Null, so dass keine Filterung 8211 der Ausgang dem neuen Eingang entspricht. Da die Zeitkonstante sehr groß wird, werden Ansätze 1, so dass neue Eingabe fast ignoriert wird 8211 sehr starkes Filtern. Die obige Filtergleichung kann in folgendes Vorhersagekorrektor-Äquivalent umgeordnet werden: Diese Form macht deutlich, dass die variable Schätzung (Ausgabe des Filters) unverändert von der vorherigen Schätzung y (k-1) plus einem Korrekturterm basiert wird Auf die unerwartete 8220innovation8221 - die Differenz zwischen dem neuen Eingang x (k) und der Vorhersage y (k-1). Diese Form ist auch das Ergebnis des Ableitens des Exponentialfilters als einfacher Spezialfall eines Kalman-Filters. Die die optimale Lösung für ein Schätzproblem mit einem bestimmten Satz von Annahmen ist. Schrittantwort Eine Möglichkeit, den Betrieb des Exponentialfilters zu visualisieren, besteht darin, sein Ansprechen über die Zeit auf eine Stufeneingabe aufzuzeichnen. Das heißt, beginnend mit dem Filtereingang und dem Ausgang bei 0 wird der Eingangswert plötzlich auf 1 geändert. Die resultierenden Werte sind nachstehend aufgetragen: In dem obigen Diagramm wird die Zeit durch die Filterzeitkonstante tau geteilt, so daß man leichter prognostizieren kann Die Ergebnisse für einen beliebigen Zeitraum, für jeden Wert der Filterzeitkonstante. Nach einer Zeit gleich der Zeitkonstante steigt der Filterausgang auf 63,21 seines Endwertes an. Nach einer Zeit gleich 2 Zeitkonstanten steigt der Wert auf 86,47 seines Endwertes an. Die Ausgänge nach Zeiten gleich 3,4 und 5 Zeitkonstanten sind jeweils 95,02, 98,17 bzw. 99,33 des Endwerts. Da der Filter linear ist, bedeutet dies, dass diese Prozentsätze für jede Größenordnung der Schrittänderung verwendet werden können, nicht nur für den hier verwendeten Wert 1. Obwohl die Stufenantwort in der Theorie aus praktischer Sicht eine unendliche Zeit in Anspruch nimmt, sollte man an den exponentiellen Filter 98 bis 99 8220done8221 denken, der nach einer Zeit gleich 4 bis 5 Filterzeitkonstanten reagiert. Variationen des Exponentialfilters Es gibt eine Variation des exponentiellen Filters, der so genannte 8220nonlineare Exponentialfilter8221 Weber, 1980. Es ist beabsichtigt, Rauschen innerhalb einer bestimmten 8220 typischen Amplitude stark zu filtern, reagiert aber schneller auf größere Änderungen. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley Teilen Sie diese Seite:
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